周期関数（読み）シュウキカンスウ（英語表記）periodic function

デジタル大辞泉

しゅうき‐かんすう〔シウキクワンスウ〕【周期関数】

周期的に変動する関数。関数f（x）のうちで、すべてのxに対してf（x＋k）＝f（x）となる正の定数kがあるとき、f（x）を、kを周期とする周期関数であるという。三角関数など。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

しゅうき‐かんすう シウキクヮンスウ【周期関数・周期函カン数】

〘名〙 周期的に変動する関数。関数 f(x) が、０でないある定数ｐに対し、常に f(x+p)= f(x) という関係をみたすとき、f(x) はｐを周期とする周期関数であるという。たとえば、正弦関数は 2π を周期とする周期関数、正接関数はπを周期とする周期関数である。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書（1889）〕

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日本大百科全書(ニッポニカ)

周期関数
しゅうきかんすう
periodic function

実数全体について定義された関数f(x)に対して、すべてのxについてf(x＋p)＝f(x)を満たす正の数pがあるとき、f(x)はpを一つの周期にもつ周期関数であるという。f(x)が一つの周期関数であるとき、周期はたくさんあるが、f(x)が定数でない関数で、ある点で連続ならば、周期のうちに最小の数があり、他の周期はこれの自然数倍となる。この最小の周期をf(x)の基本周期という。周期関数の代表的なものは三角関数である。sinx, cosxは2πを基本周期とする。tanxの基本周期はπである。一般の周期関数は、適当な条件のもとで、フーリエ級数として、sin, cosを用いて表すことができる。

　複素平面上でも同様に、周期関数を定義することができる。定数でない関数f(z)に対して、すべてのzについて、f(z＋ω)＝f(z)を満たすω≠0があるとき、f(z)はωを一つの周期とする周期関数であるという。f(z)が一つの周期関数であるとき、f(z)の周期全体は、複素数の加法に関して群をつくる。f(z)がある点で連続ならば、次の二つの場合がおこる。(1)あるω₁≠0があって、周期はすべてω₁の整数倍になる。(2)あるω₁、ω₂があって、ω₁、ω₂の比は実数でなく、かつ周期はすべてn₁ω₁＋n₂ω₂（n₁、n₂は整数）と表すことができる。

　(1)の場合は単一周期関数であるという。e^zはその代表的な例で、2πiを基本周期とする。(2)の場合は二重周期関数であるという。二重周期を有する有理形関数を楕円関数(だえんかんすう)という。これについては、19世紀以来、非常に詳しい研究がなされ、代数関数論のなかの重要な話題である。

［竹之内脩］

[参照項目] | 楕円積分 | フーリエ級数

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

周期関数 (しゅうきかんすう)
periodic function

実数xの関数sinxはsin（x＋2π）＝sinxという性質がある。すなわち，xが2πだけ変化するごとにsin xは同じ値をとるので，xの変化によって関数sin xは周期的に変化する。このように一般に関数f（x）に対して一つの0でない定数ωがあって恒等的にf（x＋ω）＝f（x）が成立するときに，関数f（x）は周期関数であるといい，ωをその周期という。実変数の周期関数には，正の周期の最小のものがある。それを基本周期という。例えばsin x，cos xの基本周期は2πであり，sin 2x，tan xの基本周期はπである。関数f₁（x），f₂（x）の周期がそれぞれω₁，ω₂のとき，f₁（x）＋f₂（x）は周期の比ω₁/ω₂が有理数ならば周期関数であり，無理数ならば周期関数でない。例えばsin 2x＋sin 3xは周期4/5πの周期関数であるが，sin x＋sin \(\sqrt{2}\)xは周期関数でない。複素変数の周期関数f（z）も同様に定義する。この場合は，ω₁，……，ω_nが周期であって任意の周期がm₁ω₁＋……＋m_nω_n（m₁，……，m_nは整数）と一意的に表されるとき，ω₁，……，ω_nを基本周期（の組）という。例えばe^zは2πiを基本周期とする。一つの複素変数の1価有理型関数は，定数でないかぎり，二つより多くの独立な基本周期をもたない。二つの独立な基本周期をもつ1価有理型関数は楕円関数と呼ばれる。
→概周期関数
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

周期関数
しゅうきかんすう
periodic function

p を0でない定数として，すべての実数あるいは複素数 x に対して定義される関数 f(x) が，常に f(x＋p)＝f(x) を満たすとき，関数 f(x) を周期関数，p をその周期という。周期 p の正の最小値 (厳密には周期全体のなす加群の生成元) を基本周期という。 n を0でない任意の整数とするとき，np もまた周期である。 p が基本周期ならば，f(ax) の基本周期は p/｜a｜ になる。三角関数，楕円関数などは，周期関数である。

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