代数関数（読み）ダイスウカンスウ（英語表記）algebraic function

デジタル大辞泉

だいすう‐かんすう〔‐クワンスウ〕【代数関数】

超越関数でない関数。多項式f（x,y）に対して、方程式f（x,y）＝0によって定まるxの関数yをいう。有理関数・無理関数など。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

だいすう‐かんすう ‥クヮンスウ【代数関数・代数函カン数】

〘名〙 数学で、初等関数の一つ。ｘの整式 P₀(x), P₁(x), P₂(x)…P_n(x) を係数とする方程式 P₀(x)yⁿ+P₁(x)y^n-1+P₂(x)y^n-2+…Pⁿ(x)=0 によって定まるｎ価の関数 y=f(x) をいう。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書（1889）〕

出典　精選版 日本国語大辞典

改訂新版　世界大百科事典

代数関数 (だいすうかんすう)
algebraic function

2変数x，yについての複素数係数の既約多項式F（x，y）が与えられたときに，F（x，y）＝0によってyをxの多価関数と考えたものをxの代数関数という。yに関するF（x，y）の次数をnとすると，一般の複素数値xに対して，yはn個の異なる値をとる。例えば，はF（x，y）＝y²－x²－1により定まる代数関数であり，xは複素数を動くのでこれは2価関数である。のところではyの値は0だけであるが，その他ではつねに値が二つずつある。F（x，y）のyに関する次数nが1のときはyはxの有理関数であり，このときのみ1価関数である。

　代数関数は有理関数の場合を除けば多価関数であるが，リーマン面を導入することによって多価性を幾何学的にとらえることができる。代数関数が一つ与えられるとそれより閉リーマン面が一意的に定まる。有理関数に対応するリーマン面はリーマン球面であり，に対応するリーマン面もリーマン球面である。
執筆者：上野 健爾

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

代数関数
だいすうかんすう
algebraic function

x の有理整関数 (多項式ともいう) P₀(x) ，P₁(x) ，…，P_n(x) を係数にもつ y の n 次方程式

P₀(x)yⁿ＋P₁(x)y^n-1＋…＋P_n-1(x)y＋P_n(x)＝0

によって定まる x の関数 y を，x の代数関数という。上の方程式においては，x の1つの値に対して，一般に y の値は n 個定まるから，y は n 価関数である。整関数，有理関数，無理関数はいずれも代数関数である。しかし，5次以上の代数方程式は必ずしも代数的に解けるとはかぎらないから，代数関数のなかには，整関数，有理関数，無理関数とは異なるものが含まれる。また代数関数の逆関数，あるいは代数関数の代数関数も代数関数である。

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代数関数【だいすうかんすう】

２変数z，wに関する複素係数の既約多項式P（z，w）が与えられたとき，P（z，w）＝０によってwをzの多価関数としたものをzの代数関数という。wに関するP（z，w）の次数がnなら，zの一つの値に対しwはn個の異なる値をとる。→代数学／代数学の基本定理
→関連項目三角関数｜デデキント

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