メルセンヌ数（読み）メルセンヌスウ（英語表記）Mersenne number

デジタル大辞泉

メルセンヌ‐すう【メルセンヌ数】

2の冪べき乗から1を引いた形で表される自然数。17世紀フランスの神学者・物理学者メルセンヌが考案。n番目の数はM_n＝2ⁿ－1と表される。このうち、素数であるメルセンヌ数はメルセンヌ素数とよばれ、巨大素数の探索の対象となっている。

出典　小学館

改訂新版　世界大百科事典

メルセンヌ数 (メルセンヌすう)
Mersenne number

2^k－1と書ける素数をメルセンヌ数という。以下2^k－1をM_kと記す。M₂，M₃，M₅，M₇が素数であることはギリシア時代から知られていた。M_kが素数であるためにはkは素数でなければならないが，M₁₁＝2047＝23×89であり，kが素数でもM_kは必ずしも素数ではない。M.メルセンヌがM_kに関して一部誤ったいくつかの予想を提出し，長い間その真偽がわからなかったのでこの名がつけられた。19世紀末ルカスE.A.Lucasは，〈M_kが素数であるための必要十分条件は，u₁＝4，u₂＝u₁²－2，u₃＝u₂²－2，……，u_i+1＝u_i²－2，……とおいたときu_k-1がM_kの倍数となることである〉ことを証明した。これはルカス判定法と呼ばれメルセンヌ数を見いだす強力な方法である。k＝13，17，19のときは16世紀末にカタルディP.A.Cataldiによって，k＝31は1772年にL.オイラーによって，k＝127は1876年にルカスによって，M_kが素数であることが示された。その後k＝61，89，107もメルセンヌ数を与えることが示された。コンピューターの発展によって，現在ではk≦50000のときM_kがメルセンヌ数であるのはk＝2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127，521，607，1279，2203，2281，3217，4253，4423，9689，9941，11213，19937，21701，23209，44497の27個であることがわかっている。
執筆者：上野 健爾

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

法則の辞典

メルセンヌ数【Mersenne's number】

素数 p に対して2^p－1で表される数をいう．

出典　朝倉書店

世界大百科事典（旧版）内のメルセンヌ数の言及

【完全数】より

…《ストイケイア》ではp＝2^k－1が素数であればn＝2^k－1(2^k－1)は完全数であることが証明されており，逆に偶数の完全数はすべてこの形に表されることはオイラーが示した。p＝2^k－1の形の素数はメルセンヌ数Mersenne numberと呼ばれる。例えばkが2,3,5,7,13,17のときpは素数であり，対応する完全数は6,28,496,8128,33550336,8589869056である。…

【完全数】より

…《ストイケイア》ではp＝2^k－1が素数であればn＝2^k－1(2^k－1)は完全数であることが証明されており，逆に偶数の完全数はすべてこの形に表されることはオイラーが示した。p＝2^k－1の形の素数はメルセンヌ数Mersenne numberと呼ばれる。例えばkが2,3,5,7,13,17のときpは素数であり，対応する完全数は6,28,496,8128,33550336,8589869056である。…

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出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」