閉集合（読み）へいしゅうごう（英語表記）closed set

精選版 日本国語大辞典

へい‐しゅうごう ‥シフガフ【閉集合】

〘名〙 数学の集合論で、数直線上の閉区間 a≦x≦b を満足させる点ｘの集合。平面上では、x²+y²≦r² を満足させる点（x,y）の集合。

出典　精選版 日本国語大辞典

デジタル大辞泉

へい‐しゅうごう〔‐シフガフ〕【閉集合】

数直線上の閉区間a≦x≦bを満足させる点xの集合。平面上では、x²＋y²≦r²を満足させる点（x,y）の集合。

出典　小学館

改訂新版　世界大百科事典

閉集合 (へいしゅうごう)
closed set

Xを距離空間，AをXの部分集合とし，xをXの点とする。このとき，xの十分近くの点がすべてAに含まれるならば，xをAの内点といい，xの十分近くの点は一つもAに含まれないならば，xをAの外点という。内点でも外点でもない点xをAの境界点という（図）。Aの境界点がすべてAに含まれるとき，AをXの閉集合という。Aの点がすべてAの内点であるとき，AをXの開集合という。AがXの閉集合ならばX－AはXの開集合で，AがXの開集合ならばX－AはXの閉集合である。閉集合に関する次の性質は基本的である。（1）Xおよび空集合は閉集合である。（2）有限個の閉集合の和集合は閉集合である。（3）任意個の閉集合の共通部分は閉集合である。同様に，開集合に関する次の性質は基本的である。（1）′Xおよび空集合は開集合である。（2）′任意個の開集合の和集合は開集合である。（3）′有限個の開集合の共通部分は開集合である。位相空間においても閉集合，開集合の概念が定義される。
執筆者：中岡 稔

図－閉集合

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

閉集合
へいしゅうごう
closed set

位相空間 Sの部分集合 Nは，Nの点の極限がまた Nに入るとき，閉集合であるといわれる。これは，Nの補集合が開集合であることと同値である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の閉集合の言及

【位相空間】より

…Sを位相空間，Aをその部分集合とし，xをSの点とするとき，xの任意の近傍がx以外にAの点を含むならば，xをAの集積点accumulation pointといい，xのある近傍がAに含まれるならば，xをAの内点という。Aがそれの集積点をすべて含むならばAを閉集合closed setといい，Aの点はすべてそれの内点ならばAを開集合open setという。これらの概念は位相空間論で基本的で，これらの概念のいずれか一つから出発しても位相空間を定義することができる。…

【位相空間】より

…Sを位相空間，Aをその部分集合とし，xをSの点とするとき，xの任意の近傍がx以外にAの点を含むならば，xをAの集積点accumulation pointといい，xのある近傍がAに含まれるならば，xをAの内点という。Aがそれの集積点をすべて含むならばAを閉集合closed setといい，Aの点はすべてそれの内点ならばAを開集合open setという。これらの概念は位相空間論で基本的で，これらの概念のいずれか一つから出発しても位相空間を定義することができる。…

【集合】より

…さらに，U_ε(p)∩Sの濃度が必ず非可算の濃度であるとき，pはSの凝集点という。集合Fについて，〈pがFの集積点ならばp∈F〉が成り立つとき，Fは閉集合であるという。集合Sにその集積点を全部併せた集合を作ると，これはSを含む最小の閉集合になる。…

※「閉集合」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」