連続体（読み）れんぞくたい（英語表記）continuum

改訂新版　世界大百科事典

連続体 (れんぞくたい)
continuum

少なくとも2点を含み，コンパクトで，連結である距離空間のことをいう。Xは少なくとも2点を含む距離空間で，Xの任意の点列は収束する点列を含み，またXの任意の2点x，x′と任意のε＞0に対し，Xの有限点列x₀，x₁，……，x_n（x₀＝x，x_n＝x′）で相隣る2点間の距離がεを超えないものがとれるとき，Xは連続体であると定義してもよい。連続体Xが局所連結ならば，すなわち，Xの任意の点xとxの任意の近傍Uに対し，x∈V⊂Uを満たす連結開集合Vがとれるならば，Xをすっかり埋めてしまう連続曲線が存在する。Xが正方形の場合のこのような曲線をペアノ曲線というのにちなんで，局所連結な連続体のことをペアノ連続体と呼ぶ。閉区間，円，球はペアノ連続体である。k＝0，1，2，……，0≦t≦1として，（1/2^k，t），（0，t），（t，0），（t，1）のいずれかを座標にもつ平面上の点全体のつくる集合を考えるとき，これは連続体であるが，ペアノ連続体ではない（図）。
執筆者：中岡 稔

図－ペアノ連続体でない連続体の例

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

連続体
れんぞくたい
continuum

実数全体の集合の集合数を連続集合数といい，連続集合数をもつ集合を連続体という。たとえば，直線上の点全体のつくる集合，平面上の点全体のつくる集合，空間の点全体のつくる集合は，いずれも連続体である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典