解析接続（読み）かいせきせつぞく（英語表記）analytic continuation

改訂新版　世界大百科事典

解析接続 (かいせきせつぞく)
analytic continuation

複素平面の領域D₁で定義された正則関数f₁と，D₂で定義された正則関数f₂があり，D₁∩D₂≠φであって，しかもD₁∩D₂の各点でf₁とf₂の値が一致するとする。このときf₂はf₁のD₂への解析接続という。この定義をするのみならば，f₁やf₂の正則性は必要ないが，正則性があるときには次の著しい性質がある。すなわち，一致の定理によって，解析接続は存在すればただ一つに限る。

　解析接続を行う方法には，いろいろある。例えば，中心がa，半径がr₁の円板D₁で正則なf₁を，点b∈D₁でべき級数に展開したとき，もし収束半径r₂がr₁－｜a－b｜より大きいならば，fはD₂＝｛z｜z－b＜r₂｝に解析接続されたことになる。

　Dで定義された正則関数が，Dより広い領域に解析接続することが不可能なとき，Dの境界をfの自然境界という。任意のDに対しこのようなfはつねに存在することが知られている。

　上述の解析接続を直接接続ともいい，それを2回以上行うことを間接接続と呼ぶ。例えば，k＝1，2，……，nに対して領域D_kで定義された正則関数f_kがあり，f_k+1はf_kのD_k+1への解析接続となっているとき，これを解析接続の鎖といい，f_nをf₁のこの鎖による間接接続という。

　曲線C：［0，1］∋t→z（t）において，tごとに，z（t）を含む領域D_tとそこにおける正則関数f_tが与えられており，各tに対してδ＞0が存在し，｜t－t′｜＜δであるようなすべてのt′に対するf_t′はf_tのD_t′への解析接続になっているとき，これを曲線Cに沿う解析接続という。f₁はf₀の，曲線Cによる間接接続という。

　本質的には，鎖によるものと曲線によるものとの間には相違はない。

　直接接続でも，間接接続でも，得られた関数の定義域がはじめの関数のそれと共通部分が空でない場合，値は必ずしも一致しないのがふつうである。一致するための十分条件を与えるものに，次の1価性の定理がある。すなわち，Dで定義されたfが，Dを含む単連結領域Ω内の，すべての曲線に沿って解析接続が可能なとき，Ωで定まる関数は1価である。

　一般には，解析接続の結果，多価関数を生ずる。のみならず，逆に解析接続は多価な正則関数を統一的に論ずるための重要な手段となっている。
→解析関数　→関数論
執筆者：及川 広太郎

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

解析接続
かいせきせつぞく
analytic continuation

複素平面上で，正則性を保ちながら，関数 f(z) の定義域を拡大する操作をいう。関数 f(z) が領域 D で正則であるとき，D を真部分集合として含む領域 D^* で正則な関数 F(z) があって，それが D では f(z) に等しいならば，F(z) を f(z) の解析接続という。このとき F(z) は f(z) の正則性を保ちながら，D^* までその領域を拡大したものとみることができる。このような領域拡大の操作自体を解析接続ということもある。このような拡大ができるとすれば，その仕方はただ1通りである。すなわち D ，D^* ，f(z) を定めた場合，もし解析接続が存在するとすれば，それはただ1つに限られる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典