線形代数(読み)せんけいだいすう(英語表記)linear algebra

日本大百科全書(ニッポニカ) 「線形代数」の意味・わかりやすい解説

線形代数
せんけいだいすう
linear algebra

線形空間ベクトル空間)を研究する数学理論をいう。線形代数は、与えられたa、bに対し、一次式ax=bを満たすxを求めることから始まる。もともと、代数の歴史は、一次式から二次式、三次式と次数のより高い代数方程式への研究の道をたどってきた。その一方、これと並行して、今日の線形代数により関連の深い、未知数の個数を増やした一次式の系の研究もなされてきた。17世紀に入り、フェルマーデカルトにより、座標の考え方が導入され、代数学幾何学がより明確に結び付き、今日の線形代数の基礎が確立された。

 線形代数の重要な考え方に、線形空間、線形写像行列がある。集合Vの元xとyに対し、xとyの和といわれるVの元x+yが決まり、また、Vの元xと実数aに対し、aとxのスカラー積といわれるVの元axが決まって、次の2条件を満たすとき、Vを実線形空間または実ベクトル空間という。

〔1〕Vは和について加法可換)群である。

〔2〕実数a、b、Vの元x、yに対し
 (1)a(x+y)=ax+ay
 (2)(a+b)x=ax+bx
 (3)(ab)x=a(bx)
 (4)1x=x
 Vの元をベクトルともいう。これらの条件で、実数a、bのかわりに複素数a、bで〔1〕、〔2〕が成り立つとき、Vを複素線形空間という。以下で実線形空間で述べることは、複素線形空間でもそのまま成り立つ。平面上の点全体の集合をR2とする。この平面上に直交座標をとり、平面上の点をその座標(x,y)で表すと、
  R2={(x,y)|x,yは実数}
とみなせる。このとき、R2の元の和とスカラー積を
  (x1,y1)+(x2,y2)
   =(x1+x2,y1+y2)
  a(x,y)=(ax,ay)
とすると、R2は実線形空間になる。同様に、直線上の点の集合R1も、われわれの住んでいる空間の点の集合R3も、ともに実線形空間になる。実際、線形空間の考え方は直線R1、平面R2、空間R3をモデルにして生まれた。

 R2の特殊な元e1=(1,0),e2=(0,1)をとると、R2の任意の元x=(x,y)はx=xe1+ye2のように、ただ一通りに書ける。この考え方を一般化して、実線形空間Vにn個の元e1、……、enがあって、Vの任意の元xが
  x=x1e1+……+xnen (xiは実数)
のようにただ一通りに書けるとき、e1、……、enを実線形空間Vの基底という。Vの基底を構成する元の個数nはVで一定であることが知られ、このnをVの次元という。R1、R2、R3の次元はそれぞれ1、2、3である。

 実線形空間Vから実線形空間Wへの写像Tが、Vの元x、yと実数aに対し
〔3〕T(x+y)=T(x)+T(y)
〔4〕T(ax)=aT(x)
を満たすとき、TをVからWへの線形写像という。とくにTがVからWの上への一対一写像のとき、Tの逆写像もWからVへの線形写像であり、VとWは線形空間として同じ型のものと考えられる。またVが基底e1、……、enをもち、Wが基底f1、……、fmをもつとき

で決まる(m,n)行列
  A=(aij)
をつくると、〔3〕、〔4〕から線形写像Tは行列Aで完全に決定される。逆に、任意に(m,n)行列A=(aij)を与えると、

で定義されたVからWへの写像は線形写像で〔5〕を満たす。この意味で線形写像と行列は本質的に結ばれている。たとえば、連立一次方程式を解くことは、線形写像によって与えられたWの元に写るVの元を求めることと同じになる。

 線形代数は学問として完成されており、数学の他の分野物理学などにおいて広く応用されている。また、線形代数そのものも、無限次元の線形空間論や、〔2〕のa、bを数に限定しない一般の体上の線形空間論、さらに可換環上の加群などの美しい理論へと拡張されている。

[菅野恒雄]

『田島一郎著『線形代数』(1970・共立出版)』『木村英紀著『線形代数――数理科学の基礎』(2003・東京大学出版会)』『木内博文著『線形代数学』(2004・横浜図書)』『江見圭司・江見善一著『ベクトル・行列がビジュアルにかわる線形代数と幾何――多次元量の図形的解釈』(2004・共立出版)』

出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

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