日本大百科全書(ニッポニカ) 「平方根」の意味・わかりやすい解説
平方根
へいほうこん
数aが与えられたとき、二乗（平方）してaとなる数、つまり、x2＝aとなる数xをaの平方根という。aが正の数のときは、aの平方根は正の数、負の数それぞれ一つずつあり、その絶対値は等しい。そして、正のほうを、
と書く。は、ルートaと読む。負のほうは、－で表される。したがって、このとき、aの平方根は、±とまとめられることになる。たとえば、2の平方根は、
と－で、±とまとめられる。この場合、記号
を、根号（または平方根号）という。0の平方根は0だけである。また、負の数の平方根は、実数でなく、虚数である。たとえば－2の平方根は、iと－iである（iは虚数単位で、
のこと）。
正の整数の平方根について考える。aが平方数、つまり、ある正の整数nの平方の形n2と書かれる数であるときは、はnに等しい（たとえば 
＝2）。しかし、aが平方数でないとき、は有理数になることはけっしてなく、無理数になる。つまり、有限小数や分数で表されることはなく、循環しない無限小数になる（たとえば＝1.41421356……）。正方形の一辺の長さを1とすれば、対角線の長さはと表されるが、が無理数であることを古代ギリシア人はすでに知っていた。それは、ユークリッドの『原論』にみられる。
正の数の平方根について考えているとき、根号はつねに正の数を表す。これが根号の規約である。すると、a＞0のとき
＝aであるが、a＜0のときa2＞0であって、＝－aとなる。
平方根号の中に平方根が含まれることがある。たとえば、
である。このような場合、一般には、二重の平方根号を外すことはできないが、外すことのできる場合がある。a、bが正の整数、
が無理数のとき、
となる正の有理数x、yは、a2－bが有理数の平方の形になるときにだけ存在する。たとえば、
では、22－3＝1＝12で、
となる。しかし、
の平方根号は、外すことができない。
［三輪辰郎］
は 2乗すると z になる複素数の一つである。有理数から出発して，その平方根をとる操作および加減乗除（→
は，定規とコンパスで作図できる。このことから，正五角形は定規とコンパスで作図できることがわかる。
（ルートa）と書く。√は根号とよび、
で表す。(2)aが0のとき，0の平方根は0である。(3)aが負の数のとき，aの平方根は二つの
である。