定積分（読み）ていせきぶん（英語表記）definite integral

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

定積分
ていせきぶん
definite integral

区間 [a，b] で定義された関数 f(x) の定積分とは，次のようにして得られた数値のことである。区間 [a，b] を，分点 a＝x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n＝b によって n 個の小区間に分割し，点 ξ_i を x_i-1≦ξ_i≦x_i(i＝1，2，…，n) となるように任意にとり，S_n＝f(x₁)(x₁－x₀)＋f(x₂)(x₂－x₁)＋…＋f(x_n)(x_n－x_n-1)＝Σf(ξ_i)(x_i－x_i-1) をつくる。 S_n を上の分割に対する f(x) のリーマン和という。さて，Δx_i＝x_i－x_i-1 とおき，ここで Δx_i の最大のものを限りなく0に近づけたとき，分点の位置や点 ξ_i の選び方には無関係に，n→∞ のとき S_n の極限値が有限の値として存在するならば，f(x) は区間 [a，b] で積分可能，あるいはリーマン可積分であるといい，
と書いて，f(x) の [a，b] における定積分またはリーマン積分という。つまり，Δx が無限小 dx になったときの和 Σf(x)Δx である。この場合，右辺の記号を積分記号 (これは sum のSの長字体) ，f(x) を被積分関数，a を積分の下端，b を積分の上端という。また右辺の解を求めることを f(x) を a から b まで積分するという。 f(x) が [a，b] で連続であれば，x_i および ξ_i の選び方には無関係に，その定積分は存在する (積分の存在定理) 。定積分には次のような基本的性質がある。
a，b，c は任意の定数である。

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精選版 日本国語大辞典

てい‐せきぶん【定積分】

〘名〙 関数と区間に付随する数値の一つ。関数 y=f(x) が区間［a, b］で負の値をとらないとき、そのグラフとｘ軸、および直線 x=a, x=b で囲まれる図形の面積を y=f(x) のａからｂまでの定積分といい、と表わす。負の値をもとる場合には、右の図形のｘ軸よりも下の部分の面積を負として計算する。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書（1889）〕

出典　精選版 日本国語大辞典

デジタル大辞泉

てい‐せきぶん【定積分】

⇒積分2

出典　小学館

百科事典マイペディア

定積分【ていせきぶん】

→積分

出典　株式会社平凡社

日本大百科全書(ニッポニカ)

定積分
ていせきぶん

→積分法

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

世界大百科事典内の定積分の言及

【積分】より

…以下，本項ではまず面積を求める方法としての積分の定義を与え，微分演算との関係を述べ，積分の性質や計算法およびその関連事項などを述べる。
［定積分と不定積分］
　a≦x≦bなるxの範囲(これを区間[a,b]という)で与えられた関数f(x)があるとき，この区間を，　a＝x₀＜x₁＜x₂＜……＜x_n－1＜x_n＝bなる分点x_jでn個の小区間に分け，それぞれの小区間[x_j－1,x_j](j＝1，……，n)の長さx_j－x_j－1に，その区間内の任意の点ξ_jにおける関数値f(ξ_j)を掛けて加えた和，　f(ξ₁)(x₁－x₀)＋f(ξ₂)(x₂－x₁)　　＋……＋f(ξ_n)(x_n－x_n－1)　　……(1)　を考える。どの小区間の長さも限りなく小さくなるように分点の数を限りなく増していくとき，この和が，分点やξ_jのとり方に無関係な一定の値Sに限りなく近づくならば，と書いて，この値をf(x)のaからbまでの定積分，または単に積分といい，このときf(x)は区間[a,b]において積分可能であるという。…

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