多項定理（読み）タコウテイリ（英語表記）polynomial theorem

デジタル大辞泉

たこう‐ていり〔タカウ‐〕【多項定理】

代数で、三項以上の多項式の累乗を多項の同次式として表す公式。例えば、（a＋b＋c）³＝a³＋b³＋c³＋3a²b＋3a²c＋3ab²＋3b²c＋3ac²＋3bc²＋6abc

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

たこう‐ていり タカウ‥【多項定理】

〘名〙 代数学における定理の一つ。三個以上の数の和の累乗の展開をあたえるつぎの定理をいう。(a₁+a₂+…+a_k)ⁿ はの総和に等しい。ただし、ｎは任意の自然数、！は階乗を表わす。

出典　精選版 日本国語大辞典

改訂新版　世界大百科事典

多項定理 (たこうていり)
polynomial theorem

k個の文字a₁，a₂，……，a_kの和のn乗の展開には次式，

が成立し，これを多項定理といい，を多項係数と呼ぶ。ただし，Σによる和は，nを負でない整数p₁，……，p_nの和n＝p₁＋p₂＋……＋p_kに分解するすべての場合にわたるものとする。k＝2のとき二項定理という。多項定理の応用例を二つあげる。

　例1　n＝3，k＝3のとき，

であるから，

　（a＋b＋c）³＝a³＋b³＋c³＋3（a²b＋a²c＋b²a＋b²c＋c²a＋c²b）＋6abc

　例2　（1＋x＋x²）⁶のx⁴の係数を求める場合には多項定理より，

であるから，

を満たすすべての負でない整数p，q，rについてのの総和が求める係数である。（2）によりq＝0，2，4。それぞれの場合（r，p）＝（2，4），（1，3），（0，2）ゆえ，よって求める係数は，

すなわち，x⁴の係数は90である。
執筆者：杉江 徹

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

多項定理
たこうていり

3項以上の代数和のn乗（nは正整数）の展開公式を多項定理という。式で書けば

となる。ただしp₁、p₂、……、p_kは負でない整数で、それらの和がnとなる組であり、記号Σ(シグマ)はこれらすべての組についての総和を表す。なお！は階乗を表し、mが正整数のとき
　　m!=m(m-1)(m-2)……2・1
を、mが0のとき0!=1を表す。多項定理の証明には二項定理が用いられる。

［竹内芳男］

[参照項目] | 二項定理

多項定理の応用

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

法則の辞典

多項定理【multinomial theorem】

x₁，x₂，…，x_n を任意の数とし，n を正の整数としたとき，次の関係式が成立する．

ここで ∑ は整数（ゼロまたは正）の組（a₁，a₂，…，a_m）のすべてについての和である．ただし（a₁＋a₂＋…＋a_m）＝n! である．

m＝2の場合には当然ながら二項定理となる．

出典　朝倉書店

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

多項定理
たこうていり
multinomial theorem

3項以上の多項式の累乗を展開するときに用いられる次の定理をいう。 n を正の整数とするとき，
ここで Σ は，p₁ ，p₂ ，…，p_m が正の整数で，p₁＋p₂＋…＋p_m＝n という条件を満足するすべての値についての和をつくることを示す。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

百科事典マイペディア

多項定理【たこうていり】

３項以上の式の累乗の展開式（式１）をいう。ここで右辺は０≦k₁，k₂，…，k(/m)≦n，k₁＋k₂＋…＋k(/m)＝nの条件をみたす整数k₁，k₂，…，k(/m)の組のすべてについて加え合わせる。m＝２の場合は二項定理。

出典　株式会社平凡社