因数分解(いんすうぶんかい)とは？意味や使い方

日本大百科全書(ニッポニカ) 「因数分解」の意味・わかりやすい解説

因数分解
いんすうぶんかい

一つの整式が二つ以上の整式の積に等しいとき、積に現れる各整式をもとの整式の因数といい、与えられた整式をその因数の積で表すことを因数分解するという。たとえば、
　 2x³＋4x＝2x(x²＋2)
　　a²－b²＝(a－b)(a＋b)
における右辺が左辺の因数分解である。因数が数または文字であるとき、それを数因数あるいは文字因数という。また与えられた式の各項に共通な因数を共通因数という。前記の第一の例で、2は数因数、xは文字因数であり、これらはまた共通因数でもある。

　一般に因数分解はできるだけ（各因数がそれ以上因数分解できないまで）分解することが普通である。たとえば前掲の第二の例で二つの因数a－b、a＋bはもはや因数分解できない。また第一の例で因数x²＋2は、係数を実数に制限すれば、もはや分解できない。しかし係数に複素数を許せば、これはさらに

と分解される。したがって、どこまで分解可能かは、式そのものと、係数の許容範囲に依存する。因数分解の正しい指示としては、係数の許容範囲を明示すべきであるが、その指示がないときは、慣行として係数の範囲を実数域とする。

　任意の整式を因数分解する一般的方法は存在しない。与えられた式に即して分解の方法がくふうされる。しかし、基本的な因数分解の公式が応用される。たとえば、公式a²－b²＝(a－b)(a＋b)を用いて、
　 9x²－4y⁴＝(3x)²－(2y²)²
　　　　　＝(3x－2y²)(3x＋2y²)
と分解される。また公式a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²を用いて

を得る。これらの公式は右辺から左辺を得るとみなせば、いわゆる乗法公式（または展開公式）となる。

　方程式論と関連して、係数を複素数まで許せば、n次代数方程式
a₀xⁿ＋a₁x^n－1＋……＋a_n－1x＋a_n＝0
の根をα₁、α₂、……、α_n（重根を含めて）とすると、
　　a₀xⁿ＋a₁x^n－1＋……＋a_n
　　　＝a₀(x－α₁)(x－α₂)……(x－α_n)
と因数分解される。

［竹内芳男］

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ブリタニカ国際大百科事典小項目事典「因数分解」の意味・わかりやすい解説

因数分解
いんすうぶんかい
factorization

一つの整数あるいは整式（多項式）を，いくつかの整数あるいは整式の積の形に変形することを，その整数あるいは整式を因数分解するという。その積の形をつくっているおのおのの整数あるいは整式を，その積の因数という。たとえば整数 24は 2×2×2×3 に，整式 x³＋3x²＋2x は x(x＋1)(x＋2) に因数分解される。2，3は 24の因数，x，(x＋1)，(x＋2) は x³＋3x²＋2x の因数である。一般に合成数の因数分解は，1通りとはかぎらないが，これを素数の積に分解する方法は 1通りである。整式を因数分解する場合は，普通各因数を整数係数の多項式の範囲で止め，またこの範囲でそれ以上分解できないところまで因数分解するが，実係数もしくは複素係数で行なうこともある。因数分解は，積の展開の逆操作である。因数分解を行なうには基本的な諸公式を組み合わせて適用するのが普通だが，近年特に 1変数多項式については，計算機による数式処理によって有効な算法が開発されている。

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