四元数 (しげんすう)
quaternion
複素数の一つの拡張として，W.R.ハミルトンによって考えだされた数である。四元数αは2乗して－1になる三つの数i，j，kによって，
α＝a＋bi＋cj＋dk （a， b， c， dは実数）
と表され，二つの四元数α，α′（＝a′＋b′i＋c′j＋d′k）の和は，
α＋α′＝（a＋a′）＋（b＋b′）i＋（c＋c′）j＋（d＋d′）k
で定められる。二つの四元数の積は，
ij＝－ji＝k，jk＝－kj＝i，
ki＝－ik＝j
を用いて定められる。四元数においては四則演算はできるが，ij＝－jiのように乗法の交換法則は成り立たない。
複素数と同様に，αに対し，その共役ᾱをᾱ＝a－bi－cj－dkで定めれば，
αᾱ＝a2＋b2＋c2＋d2
となり，α≠0ならばαᾱ≠0である。x＝bi＋cj＋dkの形の四元数全体をVで表し，これを距離
をもつ三次元ユークリッド空間と思うと，Vでの回転は四元数の乗法を用いて，ある四元数αにより，
x
α⁻1xα x∈V
で与えられる。
執筆者：斎藤 裕
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報
四元数
しげんすう
quaternion
四つの元1、i、j、kを基底とする実数体R上の線形空間Hを、1を乗法についての単位元とし、
(1)i2＝j2＝k2＝－1
(2)ij＝－ji＝k, jk＝－kj＝i, ki＝－ik＝j
(3)a(xy)＝(ax)y＝x(ay) (a∈R, x, y∈H)を満たすように乗法を定義することにより、乗法について可換でない体にすることができる。このHを四元数体といい、Hの元
(4)x＝a1＋bi＋cj＋dk (a, b, c, d∈R)を四元数という。とくに、(4)でb＝c＝d＝0のような四元数xは実数aであり、c＝d＝0のようなxは複素数a＋biである。この意味で、四元数体Hは実数体Rと複素数体Cを部分体として含んでいる。実際、R上有限次線形空間になっている（かならずしも乗法が可換でない）体はR、C、Hに限ることが知られている。
(4)の四元数xに対し、四元数a1－bi－cj－dkを
と書き、xの共役四元数といい、
なる実数をN(x)と書き、xのノルムという。
x＝0⇔N(x)＝0
が成り立ち、x≠0なら、xの逆元は
四元数はイギリスの数学者ハミルトンによって1843年に発見されたので、ハミルトンの四元数ともいう。この発見が多元数論の出発点になった。
［菅野恒雄］
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四元数【しげんすう】
複素数を拡張したもので四つの単位１，i，j，kをもち，a，b，c，dを実数としてa＋bi＋cj＋dkの形で表される。二つの四元数の加減は複素数の場合と同様だが積についてはi2＝j2＝k2＝−１，ij＝−ji＝k，jk＝−kj＝i，ki＝−ik＝jとなる。これにより四元数は乗法の交換法則を除くすべての代数法則（結合法則，分配法則）が成り立ち，その集合は非可換体となる。1840年ごろW.R.ハミルトンが発見。幾何学，物理学等に応用される。→数
→関連項目代数学
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四元数
しげんすう
algebra of quaternion
4つの底1，i ，j ，k を i2＝j2＝k2＝－1 ，ij＝－ji＝k ，jk＝－kj＝i ，ki＝－ik＝j を満たすようにとるとき，実数 x0 ，x1 ，x2 ，x3 を係数として，x＝x0＋x1i＋x2j＋x3k と表わされる数を四元数という。 1854年，W.R.ハミルトンにより，複素数体の拡張として導入された。四元数は体をつくり，四元数体と呼ばれている。乗法の交換法則は成り立たないので，非可換体である。
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