双曲線関数（読み）そうきょくせんかんすう（英語表記）hyperbolic function

改訂新版　世界大百科事典

双曲線関数 (そうきょくせんかんすう)
hyperbolic function

指数関数を用いて定義される次の6個の関数を総称して双曲線関数という。

　双曲線関数は三角関数と類似の性質をもっている。すなわち，coshxとsechxとは偶関数，他は奇関数であり，

　sinh xcosechx＝1，cosh xsechx＝1，

　　tanh xcothx＝1

　cosh²x－sinh²x＝1，1－tanh²x＝sech²x，

　　coth²x－1＝cosech²x

また例えばsinhxとcoshxの加法定理，微分法の公式，べき級数展開は次のようになる。

　sinh（x＋y）＝sinhx coshy＋coshx sinhy

　cosh（x＋y）＝coshx coshy＋sinhx sinhy

　（sinhx）′＝coshx，（coshx）′＝sinhx

　双曲線関数のグラフは図1のようになる。双曲線関数に対して，三角関数のことを円関数ということがあるが，それは次のような両者の類似点による。図2のように，円周x²＋y²＝1の上の点Pからx軸に垂線PMをおろすと，∠AOP＝θ（ラジアン）のとき，すなわち図の扇形の面積がθ/2のときに，PM＝sin θ，OM＝cos θとなるが，一方，双曲線x²－y²＝1の上の点Pからx軸に垂線PMをおろすと，図の灰色部分の面積がσ/2のときに，PM＝sinh σ，OM＝cosh σとなる。

　指数関数e^xの変数xは複素数zに拡張されるから，双曲線関数も複素数zの関数に拡張される。このとき，複素変数の三角関数との間に次の関係がある。

　sinhz＝－isin iz，coshz＝cos iz

　tanhz＝－itan iz，cothz＝icot iz

　sechz＝sec iz，cosechz＝icosec iz
→三角関数　→指数関数
執筆者：伊藤 清三

図1～図2

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

双曲線関数
そうきょくせんかんすう
hyperbolic functions

指数関数を用いて定義される六つの関数、すなわち、(1)双曲線正弦関数、(2)双曲線余弦関数、(3)双曲線正接関数、(4)双曲線余接関数、(5)双曲線正割関数、(6)双曲線余割関数を総称していう。

　sinhの読み方は、ハイパーボリック・サインで、他も同様に読む。双曲線関数は三角関数と似た性質をもっている。いま、
　　x=cosht, y=sinht
と置くと、x²-y²=1という関係がある。したがって、この関数は直角双曲線を媒介変数表示するために用いられる。とくにy=coshxのグラフはカテナリーとよばれる。

　双曲線関数の逆関数は次のようになる。これらは初等関数の不定積分において重要である。

etをtが複素数の場合にまで拡張して考えることにより、双曲線関数もtが複素数値の場合にまで拡張して考えることができる。そうすると

となる。

［竹之内脩］

[参照項目] | カテナリー

双曲線関数

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

百科事典マイペディア

双曲線関数【そうきょくせんかんすう】

指数関数を用いて定義される次の関数をいう（記号のhは双曲線hyperbolicの頭文字）。　双曲線正弦　sinh x＝（e(x/)−e(-/)(x/)）/2　双曲線余弦　cosh x＝（e(x/)＋e(-/)(x/)）/2　双曲線正接　tanh x＝sinh x/cosh x　双曲線余接　coth x＝1/tanh x　双曲線正割　sech x＝1/cosh x　双曲線余割　cosech x＝1/sinh x双曲線関数と三角関数の間にはsinh ix＝i sinx，cosh ix＝i cosx，tanh ix＝i tanxなどの関係があり，また三角関数と類似した性質をもち，cosh²x−sinh²x＝１，sinh（x＋y）＝sinh x cosh y＋cosh x sinh yなどの関係が成り立つ。→双曲面

出典　株式会社平凡社

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

双曲線関数
そうきょくせんかんすう
hyperbolic functions

指数関数 e^x を用いて定義される次の6つの関数をいう。
三角関数と類似の性質をもつ理由は，三角関数が複素指数関数で表わせるからで，複素変数の立場では，三角関数の同類である。三角関数が円と結びついているように，双曲線関数は双曲線と結びついているので，相対論のような双曲的な幾何では三角関数の代りになる。その他，懸垂線，ロジスティック曲線など，自然科学や社会科学とも，かかわりが深い。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典