双曲幾何学(読み)そうきょくきかがく

日本大百科全書(ニッポニカ) 「双曲幾何学」の意味・わかりやすい解説

双曲幾何学
そうきょくきかがく

ユークリッド幾何学公理系のなかの平行線公理を「平面上で直線外の1点を通ってこの直線と交わらない直線が少なくとも2本存在する」で置き換えて得られる幾何学を、双曲幾何学またはロバチェフスキーの幾何学という。この幾何学は1820年代にN・ロバチェフスキーとJ・ボヤイによって提唱された。

 射影幾何学は射影平面P2とそれに作用する射影変換群によって決まる古典幾何学(クラインの幾何学)であるが、P2の二次曲線
  -x02+x12+x22=0
を不変にする部分群がP2の部分集合
  H={(x0,x1,x2)
   ∈P2|-x02+x12+x22<0}
に作用することによって決まる古典幾何学が双曲幾何学である。このとき二次曲線
  -x02+x12+x22=0
を絶対形といい、Hを双曲的平面という。Hの二直線は絶対形の上で交わるとき平行であるといわれる。直線l外の1点を通ってlに平行な直線が2本存在し、lに交わらない直線は無数に存在する。

 現代的な見地では双曲幾何学は負の定曲率空間上のリーマン幾何学にほかならない。単位円板{(x,y)∈R2|x2+y2<1}にリーマン計量

を与えて得られるリーマン幾何学や、上半平面{(x,y)∈R2|y>0}にリーマン計量

を与えて得られるリーマン幾何学がそのモデルである(ポアンカレ・モデル)。これらのモデルでは直線すなわち測地線は円周およびx軸に直交する円または直線である。一般にn次元の双曲幾何学が二次元の場合とまったく同様に考えられる。

[荻上紘一]


出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

世界大百科事典(旧版)内の双曲幾何学の言及

【幾何学】より

…なお,B.リーマンは1854年に,直線の長さは有限で,2直線はつねに2点で交わるような幾何学を構成し,クラインはこれを少しく変更して2直線はつねに1点で交わるという幾何学を構成した。この非ユークリッド幾何学を楕円幾何学と呼ぶのに対し,先に述べた非ユークリッド幾何学を双曲幾何学と呼ぶ。三角形の内角の和は楕円幾何学では2直角より大きく,双曲幾何学では2直角より小さい。…

【非ユークリッド幾何学】より

…さらに,直線は有限で閉じたものとなり,直線上の点の間の順序についてもユークリッド幾何学の場合と相違する性質がみられる。先に述べた非ユークリッド幾何学を双曲幾何学と呼び,この幾何学を楕円幾何学という。これらに対応してユークリッド幾何学は放物幾何学と呼ばれる。…

※「双曲幾何学」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典|株式会社平凡社「世界大百科事典(旧版)」

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