切断（読み）セツダン（英語表記）cut

デジタル大辞泉

せつ‐だん【切断／^×截断】

［名］(スル)物をたちきること。切り離すこと。「台風で電線が―される」
[類語]断裁・裁断・分断・寸断・両断・横断・縦断

出典　小学館

改訂新版　世界大百科事典

切断 (せつだん)
cut

有理数全体のなす集合をQで表すことにする。Qの部分集合A₁，A₂を，A₁＝｛x∈Q｜x＜0またはx²≦2｝，A₂＝｛x∈Q｜x＞0かつx²＞2｝と定義すると，（A₁，A₂）は次の条件を満たす。A₁とA₂はともに空集合ではない。Q＝A₁∪A₂。a₁∈A₁，a₂∈A₂であればa₁＜a₂。一般に，以上の3条件を満たすQの部分集合の対（A₁，A₂）をQの切断という。このとき次の三つのいずれかが成り立つ。（1）A₁に最大の有理数aが存在し，A₂には最小の有理数は存在しない。（2）A₁には最大の有理数は存在せず，A₂には最小の有理数bが存在する。（3）A₁には最大の有理数は存在せず，A₂にも最小の有理数は存在しない。（1）のときはA₁＝｛x∈Q｜x≦a｝，A₂＝｛x∈Q｜x＞a｝，（2）のときはA₁＝｛x∈Q｜x＜b｝，A₂＝｛x∈Q｜x≧b｝と表すことができる。一方，最初にあげた例はA₁＝｛x∈Q｜x≦\(\sqrt{2}\)｝，A₂＝｛x∈Q｜x＞\(\sqrt{2}\)｝と表すことができ，この\(\sqrt{2}\)は有理数ではないので（3）の場合にあたる。実数の全体のなす集合に対しても切断が定義できるが，このときは（1）または（2）の場合しか起こらない。J.W.R.デデキントはQの切断を使って実数を定義した。上の（1）の場合は切断（A₁，A₂）は有理数aを定め，（2）の場合は有理数bを定め，（3）の場合は無理数αを定める。したがって一つの有理数には（1），（2）の二つの型の切断が対応し，一つの無理数にはただ一つの（3）の型の切断が対応する。（3）の場合に対応する無理数αは直観的にはA₁のどの数より大きい実数のうちで最小のもの，あるいはA₂のどの数より小さい実数のうちで最大のものである。切断（A₁，A₂）が実数αを定め切断（B₁，B₂）が実数βを定めるとき，A₁⊂B₁であればα≦βと定義する。またC₁＝｛a₁＋b₁｜a₁∈A₁，b₁∈B₁｝，C₂＝｛a₂＋b₂｜a₂∈A₂，b₂∈B₂｝とおくと，（C₁，C₂）はQの切断であり，実数γを定める。このときα＋β＝γと定義する。デデキントはこのような考え方によって，有理数の性質と切断の定義を使うだけで実数を説明することができることを示した。これをデデキントの実数論という。

　射影幾何学においても切断という言葉が用いられるが，これは2直線の交点を求めるというような作図を意味していて，2点を結ぶというような作図を意味する射影という言葉と1対として用いられ，射影幾何学で基本的作図とされているものである。
執筆者：上野 健爾

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

切断
せつだん
cut; section

数学において，切断という言葉は以下の意味に用いられる。 (1) 無理数を定義する方法として J.デデキントが導入した有理数の切断 (→無理数 ) 。 (2) 射影幾何学における射影や配景対応の際に使われる線束や面束を線や面で切る操作。 (3) ファイバー空間で，f：A→B が全射のとき，f(g(x))＝x となる g：B→A ，つまり各 x∈B ごとにファイバーの点 g(x) をとった関数 g のことを切断または横断面という。 (4) cutという語は，数学基礎論で三段論法にあたる推論規則の意味に使われる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

普及版 字通

【切断】せつだん

切り離す。

字通「切」の項目を見る。

出典　平凡社「普及版 字通」