偏微分法(読み)へんびぶんほう

日本大百科全書(ニッポニカ) 「偏微分法」の意味・わかりやすい解説

偏微分法
へんびぶんほう

変数関数において、ある変数に注目し、残りの変数を固定しておいて、注目する変数で微分することを、この変数について偏微分するという。このような微分演算と、その利用についての理論の体系が偏微分法である。以下では二変数の場合について説明する。関数のうち多変数の関数がある。たとえば、直角三角形で、斜辺zは、直角を挟む二辺x、yによって

と表される。いまここで、x、yのうち、たとえばyは変化しないものとすれば、zはxだけの関数とみることができ、変数xについて微分することができる。これがxについての偏微分である。x=x0,y=y0近傍で定義された関数f(x,y)は、yを一定値y0に固定して得られるxの関数f(x,y0)がx=x0において微分可能であるとき、(x0,y0)においてxに関して偏微分可能であるといい、この微分係数の値を、

などで表す。すなわち、

これをf(x,y)の(x0,y0)におけるxに関する偏微分係数という。同様に、yに関する偏微分係数も定められる()。

 領域Gで定義されたf(x,y)に対し、その領域の各点でf(x,y)がxに関して偏微分可能ならば、各点に、その点での偏微分係数の値を対応させた関数が得られる。これをf(x,y)のxに関する偏導関数といい、

などで表す。同様にyに関する偏導関数も定義される。たとえばf(x,y)=x2+y2のときfx(x,y)=2x,fy(x,y)=2yである。偏微分の方法は、一変数に関する通常の微分の方法の適用の繰り返しだが、とくに合成関数の微分法についてはに示す連鎖法則がある。f(x,y)の偏導関数が、さらに偏微分可能のとき、偏導関数の偏導関数が考えられる。たとえば、fxyy(x,y)は、f(x,y)をまずxで偏微分し、次にyで2回偏微分したものを表すものとする。このような偏導関数を高階偏導関数という。一階偏導関数はfx,fyの2個、二階偏導関数はfxx,fxy,fyx,fyyの22=4個、……、k階偏導関数は2k個ある。これらがすべて存在して連続であるとき、f(x,y)はCk級関数であるという。Ck級関数では、偏導関数は、偏微分の順序には関係しない。たとえば、fxy(x,y)=fyx(x,y)で、したがって二階偏導関数のうち異なるものは3個、三階偏導関数では4個、……、k階偏導関数ではk+1個ある。

[竹之内脩]


出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

世界大百科事典(旧版)内の偏微分法の言及

【微分】より

…こうすると, dyf′(a)dxとなり,微分係数の記号dy/dxf′(a)と対応する。
【偏微分法】
 二つ以上の変数x,y,……の関数f(x,y,……)があるとき,これを一つの変数,例えばxだけに注目して,他の変数は固定して定数と考え,xの関数と考えて微分することを,関数fxについて偏微分するといい,それによって得られる微分係数を,変数xに関するfの偏微分係数と呼んで∂f/∂x,またはfxと書く。簡単のために2変数の関数f(x,y)について書くと,によってfxに関する偏微分係数が定義される。…

※「偏微分法」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典|株式会社平凡社「世界大百科事典(旧版)」

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