交換法則（読み）コウカンホウソク（英語表記）commutative law

デジタル大辞泉

こうかん‐ほうそく〔カウクワンハフソク〕【交換法則】

演算の順序を変えることができるという法則。加法ではa＋b＝b＋a、乗法ではa・b＝b・aが成り立つ。また、これらの演算を可換である、または可換性をもつという。交換律。交換則。可換則。可換律。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

こうかん‐ほうそく カウクヮンハフソク【交換法則】

〘名〙 演算の三法則の一つ。演算の項の順序を入れ変えても結果が同じであるという法則。数の加法・乗法では、a+b=b+a, ab=ba が成り立つことをいう。他の演算に対しても準用する。交換の法則。交換律。

出典　精選版 日本国語大辞典

改訂新版　世界大百科事典

交換法則 (こうかんほうそく)
commutative law

整数m，nの和，積を考えると，それぞれ，m＋n＝n＋m，m×n＝n×mが成り立つ。これらを，整数（環）の加法，乗法に関する交換法則という。一般に，集合Aにおける演算＊が，Aの元a，bについて，a＊b＝b＊aを満たすとき，演算＊は，交換法則を満たすという。例えば，集合Bの部分集合の族において，共通部分，和集合をとる演算は，それぞれB₁∩B₂＝B₂∩B₁，B₁∪B₂＝B₂∪B₁だから，交換法則を満たす。また，整数環に限らず，体や環の加法は，交換法則を満たす。しかし，二次の正方行列の積，のように，群や環における乗法は，かならずしも交換法則を満たすとは限らない。そこで，乗法が交換法則を満たす群や環を，それぞれ可換群（またはアーベル群，加法群），可換環という。体では，ふつう乗法も交換法則を満たすことを仮定するが，四元数体など，乗法が交換法則を満たさない体（非可換体）もある。
執筆者：西村 純一

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

交換法則
こうかんほうそく
commutative law

交換律ともいう。集合 Sの任意の2元 x，yの間にある2項演算＊が定義されているとする。この演算 (結合法) に関して，x＊y＝y＊xという関係が成り立つとき，この演算は可換であるといい，この関係式で示される法則を交換法則という。交換法則が成り立つ演算でよく知られているものとしては，次のようなものがある。
(1) 自然数，有理数，無理数，実数，あるいは複素数など数についての加法＋，および乗法×。
x＋y＝y＋x，x×y＝y×x
(2) ある集合の部分集合についての結び∪および交わり∩。
x∪y＝y∪x，x∩y＝y∩x
(3) 記号論理における命題についての選言詞 (論理和をつくる) ∨，および連言詞 (論理積をつくる) ∧。
x∨y＝y∨x，x∧y＝y∧x
(4) ベクトルについての加法＋，および内積をつくる乗法・。
x＋y＝y＋x，x・y＝y・x
正方行列の乗法は交換法則が成り立たない。一般に変換群では，変換を繰返す順序が影響するので，交換法則が成立するとはかぎらないわけである。

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日本大百科全書(ニッポニカ)

交換法則
こうかんほうそく
commutative law

算法に対する法則。たとえば3＋5や5＋3はともに8に等しく、3×5や5×3はともに15に等しいというように、一つの算法（゜）と元a、bについて、aとbの結合a゜bと、bとaの結合b゜aが等しいという法則で、これは交換律とか可換律などともよばれる。

　この法則は、数の加法（＋）、乗法（×）のほか、たとえば二つの整数の最大公約数、最小公倍数とか、二つの実数の最大・最小、二つの集合の和とか、共通部分、2点で決定される直線、2直線の共通部分、そのほかたとえば命題でもA and BとB and Aが同値という意味で交換法則が成立する。しかし、除法については、たとえば3÷2＝3/2であるが2÷3＝2/3であるように、また、乗法についても、二つの行列A、Bについて、一般にはAB≠BAであるように、交換法則が成立しない例も多い。

［難波完爾］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

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交換法則【こうかんほうそく】

集合Sの要素a，bの演算a・bが定義されているとき，a・b＝b・aが任意のa，bについて成り立てば，この演算は交換法則を満足する，または可換であるという。実数，複素数における加法，乗法，行列における加法は交換法則を満足する。→結合法則／分配法則
→関連項目四元数

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