ニュートンの近似法（読み）ニュートンのきんじほう（英語表記）Newton's method of approximation

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ニュートンの近似法
ニュートンのきんじほう
Newton's method of approximation

方程式 f(x)＝0 の根αが計算によっては求められないとする。しかし，αの1つの近似 x₀ を知れば，この x₀ よりも精度の高いαの近似値 x₁ は，式 x₁＝x₀－f(x₀)/f'(x₀) で与えられる。この式を「ニュートンの近似式」といい，このようにして，方程式の近似解の精度を，微分法を用いて高める方法を，ニュートンの近似法という。 x₀ を第1次近似，x₁ を第2次近似という。この公式は，次のような理由に基づいてつくられている。もし x₀ が f(x)＝0 の1つの近似解であれば，それは根そのものではないから f(x₀)≠0 である。これを y₀＝f(x₀) とおく。 x₀ をよりαに近づけるためには，y₀ をより0に近づけなければならない。そのための方法として，点 (x₀，y₀) に接線 y－y₀＝f'(x₀)(x－x₀) を引き，接線と x 軸との交点 x₁ を求めるのである。すなわち x＝x₁，y＝0 として，x₁＝x₀－y₀/f'(x₀) 。ここで y₀ を f(x₀) に置き換えれば，先のニュートンの近似式が得られる。この操作を次々に繰返していけば，いくらでも α に近い x₂，x₃，…が得られる。これらを第3近似値，第 4 近似値，…という。

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